Система уравнений

Систе́ма уравне́ний — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Обозначения

Формальная запись общего вида может выглядеть так:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} F_1(x_1, x_2, \ldots, x_M) = 0 \\ F_2(x_1, x_2, \ldots, x_M) = 0 \\ \ldots \\ F_N(x_1, x_2, \ldots, x_M) = 0 \\ \end{cases} }[/math]

Фигурная скобка означает, что решение [math]\displaystyle{ (x_1, x_2, \ldots, x_M) }[/math] должно удовлетворять каждому уравнению.

Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений обращается в верное равенство.

Типы систем уравнений

• Алгебраические уравнения:
  • Система линейных алгебраических уравнений
  • Система нелинейных уравнений
• Дифференциальные уравнения:
  • Система дифференциальных уравнений (линейные/нелинейные, обыкновенные/в частных производных)

Методы решения

Существует множество методов решения системы уравнений. Подход зависит от типа системы. Так, решение систем линейных уравнений полностью исследовано: у них найдены аналитические методы (метод Крамера) и предложено несколько численных — как точных (простейший — метод Гаусса), так и приближённых (метод итераций).

Общего аналитического решения системы нелинейных уравнений не найдено. Существуют лишь численные методы.

Для решения систем дифференциальных уравнений разработана целая отрасль численных методов.

Разные факты

• Любая система уравнений над действительными числами может быть представлена одним равносильным уравнением, если взять все уравнения в форме [math]\displaystyle{ f_i(x)=0 }[/math], возвести их в квадрат и сложить.
• Обыкновенное дифференциальное уравнение любого порядка можно записать как систему диф. уравнений первого порядка.